SEGUNDO PARCIAL

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA 

Propósito de la asignatura:

Que el estudiante interprete y resuelva problemas contextualizados que requieran la orientación espacial, a través del análisis, representación y solución por medio de figuras y procedimientos geométricos y algebraicos.

Relación de la materia con otras asignaturas:

Lectura, Expresión Oral y Escrita: Comprensión y escritura de textos, comunicación y argumentación de ideas o soluciones de situaciones problemáticas.
Química: Construcción de modelos matemáticos y en la solución de los modelos que resulten de estas formulaciones, graficación de átomos y moléculas en el plano o en el espacio.
Inglés: Traducción y comprensión de textos en una segunda lengua que se requieran utilizar en la solución de problemas matemáticos de la vida cotidiana.
CTSyV: Construcción de modelos matemáticos que representen el desarrollo sustentable, deterio-ros y/o hechos sociales.
TIC: Empleo de herramientas computacionales para facilitar el aprendizaje de las Matemáticas.
Biología y Ecología: Aplicar modelos matemáticos para interpretar procesos biológicos y ecológicos.
Física: Uso de modelos matemáticos, representación gráfica de los fenómenos naturales, conver-siones de unidades, etc.
Dibujo Técnico: Graficación de figuras geométricas, líneas, acotaciones, ángulos, etc.

Competencias a desarrollar:

 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 

4. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.  

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.  

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.  

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

 Estructura conceptual de la materia

Historia de la Geometría y Trigonometría

El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.

Conocimientos geométricos de los babilonios: Hacia el año 2200 a.C. aplicaron reglas para calcular áreas de rectángulos, triángulos isósceles, trapezoides y círculos. En la medición de los sólidos, daban soluciones relacionadas con paralelepípedos, cilindros y prismas rectos, que aplicaban a trabajos de excavación de canales para riego. 

Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.

La historia de la trigonometria y de las funciones trigonométricas podría extenderse por mas de 4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. 

Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clasica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de nicea  construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

Tres siglos después, el astrónomo Claudio Ptolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico base 60 de los babilonios. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Ptolomeo.

Los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triangulo rectángulo de hipotenusa dada. A finales del siglo VIII los astrónomos arabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones.

Con la invención del Cálculo, las funciones trigonométricas fueron incorporadas al Análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler  demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y, además, definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

PROGRAMA PARA LA ASIGNATURA DE GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA

1.- Figuras geométricas
   - Origen y métodos
   - Ángulos

2.- Triangulo
   - Notación y diversidad
   - Ángulos interiores y exteriores
   - Rectas y puntos notables
   - Teoremas

3.- Polígonos
   - Notación y diversidad
   - Ángulos interiores y exteriores
   - Diagonales
   - Perímetros y áreas
   - Teoremas

4.- Circunferencias
   - Definición y elementos 
   - Ángulos en la circunferencia
   - Perímetro y área de la circunferencia
   - Áreas de figuras circulares
   - Teoremas

5.- Relaciones y funciones en el triangulo

   - Razones trigonométricas
   - Funciones trigonometricas en el plano cartesiano

   - Identidades fundamentales

   - Resolución de triángulos

1.- FIGURAS GEOMÉTRICAS

- Origen y métodos.

Punto. 

El punto es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. 

a) Puntos coplanares:

Los puntos contenidos en un mismo plano.

b) Puntos colineales:

Los puntos que se encuentran sobre una misma linea recta.

Linea.

Son tipos especiales de conjuntos de puntos. Una linea tiene una sola dimensión: longitud.

Entre los mas notables están:

a)  Linea recta: se extiende sin limite en dos sentidos, es decir, no comienza ni termina.

 

b) Linea curva:  es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente.

c) Semirrecta: Si sobre una recta señalamos un punto A, se llama semirrecta al conjunto de puntos formado por el A y todos los que le siguen o todos los los que le preceden.


d) Segmento: es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremos o finales.

Método inductivo.
Es aquel proceso en el que se razona partiendo de lo particular para llegar a lo general.

Ejemplo:
"Sabiendo que el cobre, el aluminio, el hierro, el oro y la plata son buenos conductores de la electricidad, se induce que todos los metales son buenos conductores de electricidad".

Método deductivo.
Es una forma de razonamiento donde se infiere una conclusión a partir de una o varias premisas.

Ejemplo:
"Todos los humanos son mortales" y "todos los griegos son humanos", se llega a la conclusion valida de que "todos los griegos son mortales".

- Ángulos.

"Se llama ángulo a la abertura o amplitud que hay entre dos semirrectas que se cortan en un punto llamado vértice."

Notacion: 

La notación de un ángulo se simboliza 

Según su medida o magnitud pueden ser:

a) Agudo. Es el que mide menos de 90°. 

b) Recto. Es el que mide 90°.

c) Obtuso. Es el que mide mas de 90° pero menos de 180°.

d) Llano. Es el que mide 180°.

e) Entrante. Es el que mide mas de 180° pero menos de 360°.

f) Perigono. Es el que mide 360°.

Sistema de medición.

La unidad de medida de los ángulos se llama grado y su símbolo es (°). El sistema de medición de los ángulos se llama cuadragesimal y está formado por las siguientes medidas menores al grado:

minuto: 1° = 60´
segundo: 1´ = 60"

Sistema sexagesimal. Recibe este nombre porque cada unidad es sesenta veces mayor (o menor) que la siguiente inferior ( o superior).

Conversión de grados a radianes.

Podemos relacionar radianes y grados por medio de expresiones sencillas. En una circunferencia completa hay 360° o 2π radianes (2π rad) entonces: 3600 = 2π rad. 

2.- TRIÁNGULOS

-Notación y diversidad 

Triangulo: es una figura geométrica formada por la unión de tres semirrectas o segmentos de recta, las cuales comparten tres puntos de unión llamados vértices.

Notación. La manera más común de nombrar a los triángulos es colocando el símbolo △ seguido de las tres letras mayúsculas de sus vértices. Ejemplo:

△ABC

Tipos de triangulos.
a) De acuerdo a sus lados:
-Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60°)  -Triángulo isósceles: Tiene (al menos) dos lados y dos ángulos iguales  -Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos. 

             

                    Equilatero                        Isósceles                          Escaleno

b) De acuerdo a sus ángulos: 

-Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa. 

-Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) y los otros dos son agudos (menor de 90º). 

-Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son menores a noventa. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.  

         

  Rectángulo                                              Obtusángulo                             Acutángulo

-Ángulos interiores y exteriores.

Un angulo interior de un triangulo lo forman dos lados.

La suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a 180°.

A+B+C = 180°. 

Los ángulos exteriores de un triangulo lo forman un lado y su prolongacion.

El valor de un angulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los interiores no de los adyacentes.

-Rectas y puntos notables.

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

a) Bisectriz. Es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. 

Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.

 

b) Altura. Es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.

    

   Ortocentro. Es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.

c) Mediatriz. Es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. 

   Circuncentro. Es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita.

d) Mediana. Es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto. 

  Baricentro. Es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.

-Teoremas. 

a)  Longitud de sus lados. Una propiedad obvia de todos los triángulos es que la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

b) Suma de ángulos internos (Teorema). La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano.

c) ) Propiedad del ángulo exterior (Teorema): Todo ángulo exterior de un triángulo es suplementario de su ángulo interior, así la suma de ambos es igual a la suma de los dos ángulos rectos.

d)  Propiedad de la medida de los lados (Teorema de Pitágoras): Para cualquier triángulo rectángulo cuyos catetos midan a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica que:

 a² + b² = c²

3.- POLIGONOS

-Notación y diversidad

Polígono: Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos. La palabra polígono proviene del griego POLYGONOS; de POLYS, que significa muchos y de GONIA que significa ángulos.

Notación: Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas situadas en lo vértices del mismo, después de la palabra “Polígono”.

Los polígonos reciben el nombre dependiendo del número de lados. Si los polígonos son regulares resultan de la siguiente manera:

Para saber cómo se llama un polígono de menos de 100 lados, podemos nombrarlos haciendo una combinación de prefijos, como en la siguiente tabla agregando la terminación “GONO”. 

  

Por ejemplo: Un polígono de 50 lados:    Se llama: PENTACONTAGONO. 

                      Un polígono de 67 lados:    Se llama:   HEXACONTAKAIHEPTAGONO

Clasificación de los polígonos según sus lados y según su contorno:

-Ángulos interiores y exteriores.

Un polígono puede dividirse en triángulos, al trazar todas las posibles diagonales desde un mismo vértice

Suma de ángulos internos y externos:

"La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a: 180° (n – 2), donde el número de triángulos que se forman corresponde a (n–2)."

EJEMPLO:  ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un dodecágono?  

si = 180°(n-2) = 180°(12-2) = 180°(10) = 1800°
La medida de cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de n lados es:

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es de 360°, en base a lo anterior se deduce que:

La medida de cada uno de los ángulos exteriores (e) de un polígono de “n” lados es: 

EJEMPLO: la medida de cada uno de los ángulos exteriores de un dodecágono regular es:  

e = 360° = 30°

                                                                             12

-Diagonales

Una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos

El numero de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en cualquier polígono, se determina por la ecuación: d = n – 3

EJEMPLO: ¿Cuántas diagonales puedo trazar desde un vértice en un polígono de 12 lados.
d = n – 3 ;   d = 12 – 3 ;  d = 9


El  número total de diagonales en un polígono regular de cualquier número de lados se determina por la expresión:
                                            D = n(n-3)

                           2

Ejemplo: ¿Cuántas diagonales en total podemos trazar en el polígono regular de 12 lados? 

                 D = 12 (12-3)  =  12 (9) = 108 = 54
                              2                 2           2

-Perímetros y áreas.

Perímetro: El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

Área: El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.

 -Teoremas de los polígonos.

Teorema No. 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n-2), donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono. 

EJEMPLO: 
• Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular. 
Suma de ángulos interiores = 180(n-2) 
Suma de ángulos interiores = 180(5-2) 
Suma de ángulos interiores = 180(3) 
Suma de ángulos interiores = 540°. 

Teorema No. 2. Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos interiores entre “n”. 
Ángulo interior = 180(n-2) 
                                 n 

EJEMPLO: 
• Calcular el ángulo interior de un pentadecágono (15 lados) regular. 

Ángulo interior = 180(n-2) = 180(15-2) = 180(13) = 2340 = 156° 
                                 n                15              15          15 

Teorema No. 3. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°. 

Ángulo exterior = 360° 
                              n 

EJEMPLO: 
• Calcular el ángulo exterior de un triángulo. 

Ángulo exterior = 360° = 360° = 120° 
                              n          3 

Teorema No. 4. El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un polígono es igual al producto de n(n-3) y todo ello dividido entre 2. 

# de / = n(n-3) 
                 2 

EJEMPLO: 
• Calcular el número de diagonales de un pentágono regular. 

# de / = n(n-3) = 5(5-3) = 5(2)= 10 = 5 diagonales. 
                2            2           2      2

4.- CIRCUNFERENCIAS

-Definición y elementos.

 La circunferencia: es el conjunto de puntos de un plano que equidistan (que se encuentran a la misma  distancia) de otro punto del plano llamado centro.

Se llama círculo a la superficie plana limitada por la circunferencia.

 La circunferencia es el borde y el círculo es el interior de la circunferencia. Todos los puntos de la  circunferencia están a la misma distancia del centro. 

Elementos de una circunferencia.

a) Radio.- segmento de recta que une el centro de una circunferencia con cualquier punto de la misma. 

b) Cuerda.- segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. 

c) Arco.- parte de una circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma. 

d) Diámetro.- Es la cuerda que pasa por el centro. Propiedades del diámetro: 

e) Recta tangente.- Es la recta que toca en un solo punto a una circunferencia. 

f) Recta secante.- Es la recta que corta en dos puntos a una circunferencia   

-Ángulos en la circunferencia.

ÁNGULOS: Central, Inscrito y Circunscrito.  

Angulo central.- es aquel que tiene su vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados corresponden a dos radios de la misma. 

     

Angulo inscrito.-  Llamaremos ángulo inscrito en una circunferencia a aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son rectas secantes.       

Angulo Circunscrito.- Es aquel cuyo vértice es un punto exterior a la circunferencia y sus lados corresponden a rectas secantes o rectas tangentes a la circunferencia.

Propiedades de los ángulos central, inscrito y circunscrito.

1.- Un ángulo central tiene por medida el arco cuyos lados intersectan. 

2.- El ángulo inscrito mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. 

3.- Ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son congruentes.   

4.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.   

5.- El ángulo circunscrito es el que esta formado por dos rectas secantes a una circunferencia equivale a la semi-diferencia de los arcos que interceptan. 

  

-Perímetro y área de la circunferencia.

El perímetro de un circulo es la circunferencia y su valor es igual diámetro multiplicado por pi. Como el diámetro es igual a dos radios también se puede decir que la longitud de la circunferencia = p x 2r

La razón (división) entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia recibe el nombre de p (pi) y su valor aproximado es 3,14   

                                                     .

El área del círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por pi = p x r².

Ejemplo:

-Área de figuras circulares.

FIGURAS EN UN CÍRCULO

La parte de círculo limitada por una cuerda y su arco correspondiente se llama segmento circular.

La parte de círculo limitada por dos radios y el arco comprendido entre ellos se llama sector circular.

El sector circular formado por un diámetro se llama semicírculo.

La porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas se llama corona circular.


La porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios distintos se llama trapecio circular.  

-Teoremas

1- TEOREMA RADIO Y TANGENTE

   Es el radio trazado al punto de  tangencia es perpendicular a la recta tangente

2- TEOREMA DE LAS CUERDAS PARALELAS

   Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas

3- RADIO PERPENDICULAR  A LA CUERDA

    Divide en dos segmentos congruentes

4. CUERDAS CONGRUENTES

 A las cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos  congruentes

5- DOS RECTAS TANGENTES

Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes

6- TANGENTES EXTERIORES

    Son congruentes 

 

7- TANGENTES INTERIORES

    Son confruentes 

5.- RELACIONES Y FUNCIONES EN EL TRIANGULO

-Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

La trigonometría solo es aplicable a los triángulos rectángulos, recordemos que los lados en un triangulo rectángulo que forman un angulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al angulo recto se llama hipotenusa. La posición de un cateto en relación con un angulo agudo lo especificamos con los adjetivos adyacente y opuesto.

 

Para especificar si un cateto es opuesto o adyacente, primeramente debes señalar a uno de los angulos agudos como angulo de referencia.

Las razones trigonométricas son relaciones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo. Estas razones varían al variar el ángulo de  que  se trate, es decir, que las razones son funciones del ángulo. A estas razones  se les llama  funciones trigonométricas.  

  Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:   

Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.  

Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.  

Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.  

Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.  

Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.  

Cosecante: razón entre la hipotenusa y el Cateto opuesto al ángulo.   

Funciones Trigonométricas Recíprocas  

Dos cantidades son reciprocas cuando su producto es igual a la unidad. Para un mismo ángulo  agudo son funciones recíprocas el seno  y la cosecante,  el coseno y la secante, la tangente y  la cotangente.  

Para  el ángulo agudo B de la figura anterior se tiene que:  

 (sen  B)( csc B) =  1            (cos B)( sec B) = 1                 (tan B)(cot B) = 1  

de donde:

    

  csc B =   1     sec B =   1       cot B =     1  

          sen.B           cos.B               tan.B

o bien:

  sen B =   1     cos B =   1      tan B =     1  

          csc.B           sec.B              cot.B

En las cuatro primeras de estas funciones trigonométricas, se puede obtener su valor en tablas en forma directa, mientras que las dos últimas se obtienen a partir de los valores de sus recíprocas.  

-Funciones trigonométricas en el plano cartesiano.

Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano se describen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo (triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto).

Si el triángulo tiene un ángulo agudo θ se pueden encontrar seis razones entre las longitudes de los lados a,b y c del triángulo. 

Estas relaciones dependen del ángulo θ y no del tamaño del triángulo. Si dos triángulos tienen ángulos iguales son semejantes y sus lados son proporcionales.

Al hacer las gráficas de las funciones trigonométricas siempre suponemos que los ángulos están en radianes. 

EJEMPLO

Graficas de las siguientes funciones trigonométricas en el plano cartesiano

Y= sen t                           

Y= cos t                     

Y= tan t                                      

-Identidades fundamentales

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

-Resolucion de triangulos

En un triángulo oblicuángulo se tienen seis elementos fundamentales: los tres lados y los tres ángulos. De tal manera que puede haber tres ángulos agudos o un ángulo obtuso y dos agudos, si sólo se conocen dos ángulos, el tercero se puede obtener restando a 180° la suma de los dos primeros.
El triángulo oblicuángulo se puede resolver si se conocen tres elementos, no todos ángulos, excepción hecha con base en el caso ambiguo. En general se presentan cuatro casos:  

Caso I Cuando se conocen un lado y dos ángulos
Caso II Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Caso III Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Caso IV Cuando se conocen tres lados

Para resolver los triángulos oblicuángulos se tienen dos herramientas matemáticas, que se conocen como  ley de senos  y  ley de cosenos, los cuales se presentan a continuación.  

Ley de senos.  

En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, es decir:  

     a         =         b          =         c      
 sen A             sen B               sen C

Ley de cosenos.  

En todo triángulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido, es decir:    

a2  =  b2  +  c2  - 2bc cos A  
 b2  =  a2  +  c2   - 2ac cos B  
 c2  =  a2  +  b2  - 2ab cos C 

Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Coseno en la resolución de triángulos.

AUTOEVALUACION

1.- Es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional.

       a)    Línea  b) Punto c) Polígono  d) Segmento           

2.- Línea que se extiende sin límite en dos sentidos, es decir, no comienza ni termina.

     a)    Línea recta  b )Línea curva   c) Semirrecta d) Segmento

3.- Es la abertura o amplitud que hay entre dos semirrectas que se cortan en un punto llamado vértice.

      a) Superficie           b) Grado           c) Plano           d) Angulo 

      

4.- Es el ángulo que mide más de 90° pero menos de 180°.

      a) Agudo           b) Obtuso           c) Agudo          d) Llano

         

5.- Es una figura geométrica formada por la unión de tres semirrectas o segmentos de recta, las cuales comparten tres puntos de unión llamados vértices.

      a) Cuadrado           b) Circulo          c) Triangulo         d) Rectángulo

        

6.- Triangulo en el cual sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60°).

      a) Rectángulo          b) Escaleno         c) Acutángulo         d) Equilátero

        

7.- Es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo.

      a) Incentro         b) Ortocentro        c) Circuncentro          d) Baricentro

   

8.- Es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo.

      a) Incentro         b) Ortocentro          c) Circuncentro           d) Baricentro

      

9.- Es la región del plano limitada por tres o más segmentos.

      a) Angulo           b) Polígono             c) Semirrecta             d) Circunferencia

      

10.- Es un segmento en un polígono que une dos vértices no consecutivos.

      a) Recta         b) Angulo exterior      c) Angulo interior         d) Diagonal

      

11.- ¿Cuántas diagonales puedo trazar desde un vértice en un polígono de 12 lados?

      a) d=12           b) d=6                  c) d=9                   d) d=10

12.- ¿Cuántas diagonales en total podemos trazar en el polígono regular de 12 lados?

      a) 44                b) 54                    c) 9                      d) 12

   

13.- Es el conjunto de puntos de un plano que equidistan (que se encuentran a la misma distancia) de otro punto del plano llamado centro.

      a) Circunferencia      b) Puntos coplanares           c) Línea          d) Semirrecta

     

14.- Segmento de recta que une el centro de una circunferencia con cualquier punto de la misma.

      a) Diámetro          b) Cuerda             c) Arco         d) Radio

    

15.- Angulo en una circunferencia que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son rectas secantes.

      a) Interior           b) Circunscrito           c) Inscrito         d) Central

16.- La parte de círculo limitada por una cuerda y su arco correspondiente se llama:

      a) segmento circular   b) sector circular    c) corona circular      d) semicírculo

    

17.- Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

      a) seno         b) Coseno              c) Tangente           d) Secante

  

18.- Es la razón entre la hipotenusa y el Cateto opuesto al ángulo.

      a) tangente   b) cosecante         c) seno               d) cotangente

19.- Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

      a) Cosecante   b) Seno            c) Coseno           d) Secante

    

20.- Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. 

      a) Seno          b) Coseno          c) Tangente          d) Cotangente

      

Respuestas a la autoevaluacion.

1.- b, 2.- a, 3.- d, 4.- b, 5.- c, 6.- d, 7.- a, 8.- c, 9.- b, 

10.- d, 11.- c, 12.- b, 13.- a, 14.- d, 15.- c, 16.- a, 17.- a, 

18.- b, 19.- c, 20.- d